はじめに
今回は物理基礎の閉管についてです。
前回は、弦の振動ということで、ギターなどの弦楽器がどのように音を出しているのかを勉強しました。
今回は、皆さんがよく知るリコーダーなどの管楽器についてです。
管楽器がどのように音を出しているのか。
振動数などの計算の仕方は前回の方法と全く同じです。
頑張っていきましょう！
気柱にできる定常波
気柱を伝わっていく音波は、気柱の両端で何度も反射します。
気柱の入り口からの入射波と端の反射波が定常波を作り共鳴します。
共鳴する部分では
ウワーン！ウワーン！
と大きな音を鳴らします。
今回考える管には
- 閉管（片方が閉じている管）
- 開管（両方開いている管）
2種類あります。
それぞれの管について考えていきましょう。
今回考える波は音波です。
そのため、縦波である音波を横波として表したような図になります。
閉管にできる定常波
最初に閉管について考えていきましょう。
気柱共鳴において、
- 閉口端（閉じている部分）→固定端反射
- 開口端（開いている部分）→自由端反射
ということになっています。
閉口端では、音波を伝える空気が自由に振動することができません。
そのため、閉口端では固定端反射をします。
開口端では、音波を伝える空気が自由に振動することができます。
そのため、閉口端では自由端反射をします。
弦の振動と同様に気柱共鳴にも種類があります。
これは振動数の違いによるものです（大事です）。
振動数が小さい振動から「基本振動」次に「3倍振動」次が「5倍振動」と奇数でどんどん増えていきます。
閉管の振動数を表す公式は次のように表されます。
$$ f_n = \frac{v}{4L}×ｎ（ｎ＝1，2，3・・・）- Ａ $$
前回と同様にこれは覚えませんよ！
こんな式はその都度自分で立てることができるものなので、覚える必要はありません。
公式の導出について説明します。
基本振動
基本振動は図のような状態です。
下図のように基本振動は1波長の4分の1ですよね。
つまり \( \frac{1}{4}λ \) となります。 気柱の長さは\( L \)なので、次の式が成り立ちます。
$$ \frac{1}{4}λ = Ｌ $$
$$ λ = 4Ｌ $$
波の基本公式より
$$ v = fλ $$
\( λ＝4Ｌ \)を代入して
$$ v = f・4L $$
振動数 \( f \) について求めると
$$ f_1 = \frac{v}{4L} $$
基本振動なので \( f_1 \) としています。
Ａ式と見比べると、ｎに1を代入した式になっていますよね。
3倍振動
3倍振動は図のような状態です。
下図のように3倍振動は1波長の4分の1と2分の1ですよね。
つまり \( \frac{3}{4}λ \) となります。 気柱の長さは\( L \)なので、次の式が成り立ちます。
$$ \frac{3}{4}λ = Ｌ $$
$$ λ = \frac{4}{3}Ｌ $$
波の基本公式より
$$ v = fλ $$
\( λ = \frac{4}{3}Ｌ \)を代入して
$$ v = f・\frac{4}{3}L $$
振動数 \( f \) について求めると
$$ f_3 = \frac{3v}{4L} $$
3倍振動なので \( f_3 \) としています。
Ａ式と見比べると、ｎに3を代入した式になっていますよね。
5倍振動
5倍振動は図のような状態です。
下図のように5倍振動は1波長と4分の1ですよね。
つまり \( \frac{5}{4}λ \) となります。 気柱の長さは\( L \)なので、次の式が成り立ちます。
$$ \frac{5}{4}λ = Ｌ $$
$$ λ = \frac{4}{5}Ｌ $$
波の基本公式より
$$ v = fλ $$
\( λ = \frac{4}{5}Ｌ \)を代入して
$$ v = f・\frac{4}{5}L $$
振動数 \( f \) について求めると
$$ f_5 = \frac{5v}{4L} $$
3倍振動なので \( f_5 \) としています。
Ａ式と見比べると、ｎに5を代入した式になっていますよね。
次は7倍振動、9倍振動と奇数で増えていきます。
開口端補正
皆さんの中には疑問を持っている人がいるかもしれません。
気柱共鳴は図のように管から少しだけ波がはみ出します。
これを開口端補正といいます。
問題文によっては開口端補正も考慮して計算する必要があります。
開口端補正はよく\( Δｘ \) と表記されます。
では、基本振動を開口端補正も考慮して計算してみましょう。
つまり \( \frac{1}{4}λ + Δｘ \) となります。
気柱の長さは\( L \)なので、次の式が成り立ちます。
$$ \frac{1}{4}λ + Δｘ = Ｌ $$
$$ λ = 4(Ｌ-Δｘ) $$
波の基本公式より
$$ v = fλ $$
\ λ = 4(Ｌ-Δｘ) を代入して
$$ v = f・4(Ｌ-Δｘ)$$
振動数 \( f \) について求めると
$$ f_1 = \frac{v}{4(Ｌ-Δｘ)} $$
まとめ
今日は閉管の気柱共鳴について勉強しました。
弦の振動に関する公式が以下の公式です。
$$ f_n = \frac{v}{2L}×ｎ（ｎ＝1，2，3・・・） $$
この公式は覚えるのではなく、自分で導出できるように練習しましょう！
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